Question

【題目】(2016湖北省荊州市第24題)已知在關于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均為實數，方程①的根為非負數．

（1）求k的取值范圍；

（2）當方程②有兩個整數根x1、x2，k為整數，且k=m+2，n=1時，求方程②的整數根；

（3）當方程②有兩個實數根x1、x2，滿足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k為負整數時，試判斷|m|≤2是否成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、k≥﹣1且k≠1且k≠2；(2)、x=0、1、2、3；(3)、不成立；理由見解析.

【解析】

試題分析：(1)、先解出分式方程①的解，根據分式的意義和方程①的根為非負數得出k的取值；(2)、先把k=m+2，n=1代入方程②化簡，由方程②有兩個整數實根得△是完全平方數，列等式得出關于m的等式，由根與系數的關系和兩個整數根x1、x2得出m=1和﹣1，分別代入方程后解出即可；(3)、根據（1）中k的取值和k為負整數得出k=﹣1，化簡已知所給的等式，并將兩根和與積代入計算求出m的值，做出判斷．

試題解析：(1)、∵關于x的分式方程的根為非負數， ∴x≥0且x≠1，

又∵x=≥0，且≠1， ∴解得k≥﹣1且k≠1，

又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0， ∴k≠2，

綜上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；

(2)、∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有兩個整數根x1、x2，且k=m+2，n=1時，

∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，

∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），

∵x1、x2是整數，k、m都是整數， ∵x1+x2=3，x1x2==1﹣， ∴1﹣為整數，

∴m=1或﹣1， ∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0，

x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3；

把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0， x2﹣3x+2=0， （x﹣1）（x﹣2）=0， x1=1，x2=2；

（3）|m|≤2不成立，理由是：

由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是負整數， ∴k=﹣1，

（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有兩個實數根x1、x2，

∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，

x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k）， x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，

x12+x22═x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2， （x1+x2）2﹣3x1x2=k2，

（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2， m2﹣4=1， m2=5， m=±， ∴|m|≤2不成立．