Question

【題目】如圖，邊長為a的正方形ABCD中，E、F是邊AD,AB上兩點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且AE=BF.連接CE,DF相交于點(diǎn)M,

（1）當(dāng)E為邊AD的中點(diǎn)時，則DF的長為 （用含a的式子表示）

（2）求證：∠MCB+∠MFB=180°.

（3）點(diǎn)M能成為DF的中點(diǎn)嗎？如果能，求出此時CM的長（用含a的式子表示）；如果不能，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析（3）不能

【解析】分析：（1）當(dāng)E為邊AD的中點(diǎn)時，則F也是AB的中點(diǎn)，在Rt△ADF中，利用勾股定理求出DF的長；
（2）首先利用全等三角形的判定方法利用SAS證明△ADF≌△DCE，得到∠ADF=∠DCE，進(jìn)而得出∠DME=90°，于是得到結(jié)論；
（3）假設(shè)點(diǎn)M成為DF的中點(diǎn)，利用垂直平分線的性質(zhì)得到DC=CF，進(jìn)而得到結(jié)論與題意不符．

詳解：(1)∵E為邊AD的中點(diǎn)，

∴F也為邊AB邊的中點(diǎn)，

∴AF=AB=a，

在Rt△ADF中，

AD2+AF2=DF2，

∴DF=；

(2)∵在正方形ABCD中，

∴AB=BC=CD=AD，

又∵AE=BF，

∴AF=DE，

∵∠CDE=∠A=90°，

∴△ADF≌△DCE，

∴∠ADF=∠DCE，

∵∠DCE+∠DEC=90°，

∴∠ADF+∠DEC=90°，

∴∠DME=90°，

∴∠MCB+∠MFB=180°；

(3)假設(shè)點(diǎn)M成為DF的中點(diǎn)，

∵∠DME=90°，

∴DF⊥CE，

∵M成為DF的中點(diǎn)，

∴CM是DF的垂直平分線，

∴DC=CF，

∵DC=BC≠CF，

∴點(diǎn)M不能成為DF的中點(diǎn).