Question

【題目】已知：△ABC和△ADE均為等邊三角形，連接BE，CD，點F，G，H分別為DE，BE，CD中點．

（1）當△ADE繞點A旋轉時，如圖1，則△FGH的形狀為 ，說明理由；

（2）在△ADE旋轉的過程中，當B，D，E三點共線時，如圖2，若AB=3，AD=2，求線段FH的長；

（3）在△ADE旋轉的過程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），則△FGH的周長是否存在最大值和最小值，若存在，直接寫出最大值和最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△FGH是等邊三角形；（2）；（3）△FGH的周長最大值為（a+b），最小值為（a﹣b）．

【解析】試題（1）結論：△FGH是等邊三角形．理由如下：根據三角形中位線定理證明FG=FH，再想辦法證明∠GFH=60°即可解決問題；、

（2）如圖2中，連接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；

（3）首先證明△GFH的周長=3GF=BD，求出BD的最大值和最小值即可解決問題；

試題解析：解：（1）結論：△FGH是等邊三角形．理由如下：

如圖1中，連接BD、CE，延長BD交CE于M，設BM交FH于點O．

∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°

∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．

（2）如圖2中，連接AF、EC．

易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF==，在Rt△ABF中，BF= =，∴BD=CE=BF﹣DF=，∴FH=EC=．

（3）存在．理由如下．

由（1）可知，△GFH是等邊三角形，GF=BD，∴△GFH的周長=3GF=BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值為a﹣b，最大值為a+b，∴△FGH的周長最大值為（a+b），最小值為（a﹣b）．