Question

【題目】定義：在三角形中，把一邊的中點到這條邊的高線的距離叫做這條邊的中垂距．
例：如圖①，在△ABC中，D為邊BC的中點，AE⊥BC于E，則線段DE的長叫做邊BC的中垂距．

（1）設(shè)三角形一邊的中垂距為d（d≥0）．若d=0，則這樣的三角形一定是 ， 推斷的數(shù)學(xué)依據(jù)是 ．
（2）如圖②，在△ABC中，∠B=45°，AB= ，BC=8，AD為邊BC的中線，求邊BC的中垂距．

（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．點E為邊CD的中點，連結(jié)AE并延長交BC的延長線于點F，連結(jié)AC．求△ACF中邊AF的中垂距．

Answer 1

【答案】
（1）等腰三角形,線段的垂直平分線上的點到兩端的距離相等
（2）解：如圖②中，作AE⊥BC于E．

在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，AB=3 ，

∴AE=BE=3，

∵AD為BC邊中線，BC=8，

∴BD=DC=4，

∴DE=BD﹣BE=4﹣3=1，

∴邊BC的中垂距為1

（3）解：如圖③中，作CH⊥AF于H．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=∠EHC=∠ECF=90°，AD∥BF，

∵DE=EC，∠AED=∠CEF，

∴△ADE≌△FCE，

∴AE=EF，

在Rt△ADE中，∵AD=4，DE=3，

∴AE= =5，

∵∠D=EHC，∠AED=∠CEH，

∴△ADE∽△CHE，

∴ = ，

∴ = ，

∴EH= ，

∴△ACF中邊AF的中垂距為

【解析】解：（1）三角形一邊的中垂距為d（d≥0）．若d=0，則這樣的三角形一定是等腰三角形，推斷的數(shù)學(xué)依據(jù)是線段的垂直平分線上的點到兩端的距離相等．

所以答案是等腰三角形，線段的垂直平分線上的點到兩端的距離相等．

【考點精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和矩形的性質(zhì)，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能得出正確答案．