Question

【題目】如圖，已知一個三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=8，BC=6，E、F分別是AC、AB邊上的點，連接EF．（1）如圖1，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，且使S四邊形ECBF=4S△EDF，求ED的長；

（2）如圖2，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在BC邊上的點M處，且使MF∥CA．

①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結論；

②求EF的長；

（3）如圖3，若FE的延長線與BC的延長線交于點N，CN=2，CE=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）先利用折疊的性質得到， ≌，則則易得S△ABC=5S△AEF，再證明然后根據相似三角形的性質得到再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長；
（2）①通過證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形；
②連結AM交EF于點O，如圖②，設則先證明 得到解出后計算出再利用勾股定理計算出AM，然后根據菱形的面積公式計算EF；
（3）如圖③，作作于H，先證明利用相似比得到設，則 再證明利用相似比可計算出則可計算出和，接著利用勾股定理計算出，從而得到的長，于是可計算出的值．

試題解析：（1）∵的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，

∴ ， ≌，

∴

∵S四邊形ECBF=

∴S△ABC=5S△AEF，

在Rt 中，∵

∴

∵

∴

即

∴

由折疊知，

（2）①連結AM交EF于點O，如圖2，

∵的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，

∴

∵MF∥AC，

∴

∴

∴

∴

∴四邊形AEMF為菱形，

②設則

∵四邊形AEMF為菱形，

∴EM∥AB，

∴

∴

即

解得

在Rt 中，

∵S菱形AEMF

∴

（3）如圖③，作于H，

∵EC∥FH，

∴

∴

∴

∴

設，則

∵FH∥AC，

∴

∴

∴

∴

在Rt 中，

∴

∴