Question

【題目】如圖，在正方形ABCD的對角線AC上取點E，使得∠CDE=15°，連接BE．延長BE到F，連接CF，使得CF=BC．

（1）求證：DE=BE；

（2）求證：EF=CE+DE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由正方形的性質可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通過證明△ABE≌△ADE，就可以得出結論；

（2）在EF上取一點G，使EG=EC，連結CG，再通過條件證明△DEC≌△FGC就可以得出結論．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，

∠BAC=∠DAC=45°．

∵在△ABE和△ADE中， ，

∴△ABE≌△ADE（SAS），

∴BE=DE．

（2）在EF上取一點G，使EG=EC，連結CG，

∵△ABE≌△ADE，

∴∠ABE=∠ADE．

∴∠CBE=∠CDE，

∵BC=CF，∴∠CBE=∠F，

∵∠CDE=15°，∴∠CBE=15°，

∴∠CEG=60°．

∵CE=GE，∴△CEG是等邊三角形．

∴∠CGE=60°，CE=GC，

∴∠GCF=45°，

∴∠ECD=GCF．

∵在△DEC和△FGC中， ，

∴△DEC≌△FGC（SAS），

∴DE=GF．

∵EF=EG+GF，

∴EF=CE+ED．