Question

【題目】將拋物線c1： 沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示．

(1)請直接寫出拋物線c2的表達式；

(2)現將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與軸的交點從左到右依次為D、E．

①當B、D是線段AE的三等分點時，求m的值；

②在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）①2，1/2，②是矩形，m＝1

【解析】試題分析：因為二次函數的圖像關于x軸對稱時，函數中的a,c,互為相反數，b值不變，函數向左平移時，縱坐標不變，橫坐標均減少平移個單位，可假定成立，由直角三角形性質得到驗證。解：（1）拋物線c2的表達式是； 2分；

（2）①點A的坐標是（，0）， 3分；

點E的坐標是（，0）. 4分；

②假設在平移過程中，存在以點A，M，E為頂點的三角形是直角三角形.

由題意得只能是.

過點M作MG⊥x軸于點G.

由平移得：

點M的坐標是（， ）， 5分；

∴點G的坐標是（，0），

∴， ，

，

在Rt△AGM中，

∵ tan，

∴， 6分；

∵，

∴，

∴tan，

∴， 7分；

∴. 8分.

所以在平移過程中，當時，存在以點A，M，E為頂點的三角形是直角三角形.