Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交AC于點D，弦DE∥AB，∠C=∠BAF
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，AD=2

5

，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）連接BD．欲證BC為⊙O的切線，只需證明∠ABC=90°即可；
（2）過D作DM⊥AB，在Rt△ADB中利用勾股定理即可求得DB的長，然后根據三角形的面積公式即可求得DM的長，即DE的弦心距，則DE=AB-2AM，據此即可求解．

解答：（1）證明：連BD，則∠CDB=90°
∠C=∠BAF=∠BDE
∵DE∥AB
∴∠ABD=∠BDE=∠C
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠C+∠DBC=90°
∴BC為⊙O的切線；

（2）解：過D作DM⊥AB，
∵AB=10，AD=2

5

，
∴在Rt△ADB中，DB=

AB2-DA2

=

102-(2 5 )2

=4

5

，
又∵S△ADB=

1

2

AD•DB=

1

2

AB•DM，
∴DM=4，
在Rt△ADM中，AM=

AD2-DM2

=

(2 5 )2-42

=2 
∴DE=AB-2AM=10-2×2=6．

點評：本題考查切線的判定以及勾股定理，已知所證的直線經過圓上的點，證切線常用的方法是轉化成證垂直．