Question

如圖，在直角梯形紙片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD＞AD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點A落在邊CD上的點E處，折痕為DF．連接EF并展開紙片．
（1）判斷四邊形ADEF的形狀，并說明理由．
（2）取線段AF的中點G，連接EG、DG，如果DG∥CB，試說明四邊形GBCE是等腰梯形．

Answer 1

解：（1）四邊形ADEF為正方形．理由如下：
∵紙片沿過點D的直線折疊，使點A落在邊CD上的點E處，折痕為DF，
∴∠DEF=∠A=90°，DA=DE，
∵AB∥DC，
∴∠ADE=90°，
∴四邊形ADEF為矩形，
而DA=DE，
∴四邊形ADEF為正方形；

（2）∵DG∥CB，DC∥AB，
∴四邊形BGDC是平行四邊形，
∴BC=DG，DC=BG，
∴EC≠BG，
∴四邊形EGBC是梯形，
又∵G點為AF的中點，
∴AG=GF，
而正方形ADEF為軸對稱圖形，
∴GE=DG，
∴EG=CB，
∴四邊形EGBC為等腰梯形．
分析：（1）根據折疊的性質得到∠DEF=∠A=90°，DA=DE，由AB∥DC得∠ADE=90°，則可判斷四邊形ADEF為矩形，加上鄰邊相等，由此可判斷四邊形ADEF為正方形；
（2）由DG∥CB，DC∥AB可判斷四邊形BGDC是平行四邊形，則BC=DG，DC=BG，所以EC≠BG，于是可判斷四邊形EGBC是梯形，再利用G點為AF的中點和正方形ADEF為軸對稱圖形得到GE=DG，則EG=CB，所以可判斷四邊形GBCE是等腰梯形．
點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等．也考查了正方形和平行四邊形的判定與性質以及等腰梯形的判定．