Question

【題目】如圖，點A從坐標原點出發，沿x軸的正方向運動，點B坐標為（0，4），M是線段AB的中點，將點M繞點A順時針方向旋轉90°得到點C，過點C作x軸的垂線，垂足為F，過點B作y軸的垂線與直線CF相交于點E，連接AC，BC，設點A的橫坐標為t．

（1）當點C與點E恰好重合時，求t的值；
（2）當t為何值時，BC取得最小值；
（3）設△BCE的面積為S，當S=6時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當點C與點E重合時，如圖1，

則OB=EF=4，OA=t，且AB=2AE，

∵由題意可知∠BAE=90°，

∴∠EAF+∠BAO=∠EAF+∠AEF=90°，

∴∠AEF=∠BAO，且∠EFA=∠AOB，

∴Rt△AEF∽Rt△BAO，

∴ = = ，即 = ，解得t=8

（2）解：如圖2，

∵AB=2AC，

∴BC= = AC，

∴ ，

在Rt△AOB中，由勾股定理可得 ，

∴當t=0時，AB有最小，則BC有最小值

（3）解：①當0＜t≤8時，則點C在點E的下方，如圖2，

同（1）可知 = = ，解得AF=2，CF= t，

∴BE=OF=OA+AF=t+2，CE=EF﹣CF=4﹣ t，

∴S= BECE= （t+2）（4﹣ t）=﹣ t2+ t+4，

令S=6，可得﹣ t2+ t+4=6，解得t=2或t=4；

②當t＞8時，則點C在點E的上方，如圖3，

則CE=CF﹣EF= t﹣4，

∴S= BECE= （t+2）（ t﹣4）= t2﹣ t﹣4，

令S=6可得 t2﹣ t﹣4=6，解得t=﹣4（舍去）或t=10，

即當S的值為6時，t的值為2或4或10

【解析】（1）首先證明△AEF∽△BAO，然后依據相似三角形對應邊成比例的性質列方出求解即可；
（2）在Rt△ABC中可求得BC和AB的關系，然后在Rt△AOB中，用t可表示出AB，然后再可用t表示出BC，最后利用二次函數的性質可求得BC取得最小值時t的值；
（3）分為0＜t≤8和t＞8兩種情況求得S關于t的函數表達式，最后，再令S=6，從而可得到關于t的方程，從而可求得t的值.