Question

(本小題滿分12分)
如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上．已知，，△ABC的面積，拋物線
經過A、B、C三點。

【小題1】(1)求此拋物線的函數表達式；
【小題2】(2)設E是y軸右側拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；
【小題3】(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】解：（1）∵，設，則
∴
又，∴
∵
∴，即。
而，∴。
∴,
∴△ABC三個頂點的坐標分別是
,,
∵拋物線經過A、B、C三點，
∴設，把代入得

∴此拋物線的函數表達式為
【小題2】（2）設點E的坐標為，
∵點E在Y軸右側的拋物線上，∴。
有拋物線的對稱性，知點F與點E關于拋物線的對稱軸x=2對稱，
易得點F的坐標為。
要使矩形EFGH能成為正方形，有,
則
∴ ①
或 ②
由①得，，解得（舍去）
由②得，，解得（舍去）
當時，
此時正方形EFGH的邊長為。
當時，
此時正方形EFGH的邊長為。
∴當矩形EFGH為正方形時，該正方形的邊長為或
【小題3】（3）假設存在點M，使△MBC中BC邊上的高為。
∴M點應在與直線BC平行，且相距的兩條平行直線和上。
由平行線的性質可得：和與y軸的交點到直線BC的距離也為。
如圖，設與y軸交于P點,過P作PQ與直線BC垂直，垂足為點Q，
∵，
∴∠OBC=∠OCB=45°
在Rt△PQC中，，∠PCQ=∠OCB=45°
∴由勾股定理，得
∴直線與y軸的交點坐標為P(0,9)
同理可求得：與y軸交點坐標為，
易知直線BC的函數表達式。
∴直線和的函數表達式分別為。
根據題意，列出方程組：①，②
由①得，，解得；
由②得，
∵△="-31<0"
∴此方程無實數根。
∴在拋物線上存在點M，使△MBC中BC邊上的高為，其坐標分別為：

另解：易求直線BC的表達式為：
整理得
設
由點到直線的距離得

解得

解析