Question

（2013年四川廣安9分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙0，交BC于點(diǎn)D，連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：EF是⊙0的切線．
（2）如果⊙O的半徑為5，sin∠ADE=，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°。
∴AD⊥BC。
∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC。
∵OA=OB，∴OD為△ABC的中位線。
∴OD∥AC。
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。
∵OD是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線。
（2）∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD。
∴在Rt△ADB中，。
∵AB=10，∴AD=8，
∵在Rt△ADE中，，∴。
∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA。
∴，即，解得。

（1）連接OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論。
（2）由∠DAC=∠DAB，根據(jù)等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計(jì)算出AD=8，在Rt△ADE中可計(jì)算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計(jì)算出BF。