Question

如圖①所示，已知A，B為直線l上兩點，點C為直線l上方一動點，連接AC、BC，分別以AC、BC為直角邊向△ABC外作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，滿足∠CAD=∠CBE=90°，過點D作DD₁⊥l于點D₁，過點E作EE₁⊥l于點E₁．
（1）如圖②，當點E恰好在直線l上時，試說明DD₁=AB；
（2）在圖①中，當D，E兩點都在直線l的上方時，試探求三條線段DD₁，EE₁，AB之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件可以得出∠ABC=90°，∠DD₁A=90°，根據等腰直角三角形的性質就可以得出AD=AC，∠DAC=90°，就可以得出∠DAD₁=∠ACB，從而得出△ADD₁≌△CAB就可以得出結論；
（2）過點C作CH⊥l于H，通過證明△DD₁A≌△AHC，△CHB≌△EE₁B，就可以得出AH=DD₁，HB=EE₁，從而得出．

解答：解：（1）如圖②，∵△CAD、△CBE是等腰直角三角形，且∠CAD=∠CBE=90°，
∴AC=AD，BC=BE，
∴∠ABC=90°．∠DAD₁+∠CAB=90°．
∵DD₁⊥l，
∴∠DD₁A=90°，
∴∠DD₁A=∠ABC．
∵∠CAB+∠ACB=90°，
∴∠DAD₁=∠ACB．
在△ADD₁和△CAB中，

∠DD1A=∠ABC ∠DAD1=∠ACB AD=AC

，
∴△ADD₁≌△CAB（AAS），
∴DD₁=AB；

（2）DD₁，EE₁，AB之間的數量關系是：DD₁+EE₁=AB
理由：如圖①，
過點C作CH⊥l于H，
同理可得出：△DD₁A≌△AHC（AAS），△CHB≌△EE₁B（AAS），
∴AH=DD₁，HB=EE₁，
∴AH+HB=DD₁+EE₁，
即AB=DD₁+EE₁．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時運用三角形全等制造相等線段是關鍵．