Question

【題目】如圖，直線(xiàn)y＝﹣x+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線(xiàn)y＝x交于點(diǎn)C．在線(xiàn)段OA上，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．分別過(guò)點(diǎn)P、Q作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)AB、OC于點(diǎn)E、F，連接EF．若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形PEFQ總為矩形（點(diǎn)P、Q重合除外）．

（1）求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是多少？

（2）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ為正方形？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）t＝2或4；

【解析】

（1）先求得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，得到的值，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到AP與EP的比值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的速度；

（2）分Q，P兩點(diǎn)相遇前后兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)PQ＝PE時(shí)，矩形PEFQ為正方形，由用關(guān)于t的式子表示各線(xiàn)段的長(zhǎng)，然后求出t的值即可.

解：（1）∵直線(xiàn)y＝﹣x+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，

∴x＝0時(shí)，y＝4，y＝0時(shí)，x＝8，

∴，

當(dāng)t秒時(shí)，QO＝FQ＝t，則EP＝t，

∵EP∥BO，

∴，

∴AP＝2t，

∵動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度；

（2）如圖，當(dāng)PQ＝PE時(shí)，矩形PEFQ為正方形，

則∵OQ＝FQ＝t，PA＝2t，

∴QP＝8﹣t﹣2t＝8﹣3t，

∴8﹣3t＝t，

解得：t＝2；

如圖2，當(dāng)PQ＝PE時(shí)，矩形PEFQ為正方形，

∵OQ＝t，PA＝2t，

∴OP＝8﹣2t，

∴QP＝t﹣（8﹣2t）＝3t﹣8，

∴t＝3t﹣8，

解得：t＝4；