Question

【題目】（教材呈現）下圖是華師版九年級上冊數學教材第78頁的部分內容.

例1 求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.

已知：如圖，在中，，，.

求證：、互相平分.

證明：連結、.

請根據教材提示，結合圖①，寫出完整的解題過程.

（結論應用）如圖②，連結圖①的、，分別與、、交于點、、.

（1）若，求點、之間的距離.

（2）若四邊形的面積為2，則的面積為______.

Answer 1

【答案】【教材呈現】答案見解析；【結論應用】（1）2；（2）24

【解析】

教材呈現：根據三角形中位線的性質可得，從而可得四邊形ADEF是平行四邊形，從而可證答案；

結論應用：（1）由【教材呈現】可證點M與N分別是DE，EF的中點，從而可知MN是△DEF的中位線，從而可求答案；

（2）設MN，OE的交點為H，AE，DF的交點為P，根據【教材呈現】可知點P為DF的中點，M是DE的中點，N是DC的中點，由（1）知MN是△EDF的中位線，利用三角形中線平分面積原理即可得出答案.

教材呈現:

解：，，

，

同理可得

四邊形是平行四邊形.

、互相平分.

結論應用：

解：（1）連結、，如圖.

，，

是的中位線

是中線，

是中點.

同理可得是中點.

是的中位線.

（2）24

理由：設MN，OE的交點為H，AE，DF的交點為P，根據【教材呈現】可知點P為DF的中點，M是DE的中點，N是DC的中點，由（1）知MN是△EDF的中位線，

∴點H是MN的中點，

∴EH是△EMN的中線，OH是△OMN的中線，

根據三角形中線平分面積可知，

又∵四邊形EMON的面積為2

∴

∵點M是DE的中點，

∴

∴

∵點N是DC的中點，

∴

∵點E是BC的中點，

∴

∵點D是AB的中點，

∴