Question

【題目】觀察下列各式： （x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1
（1）根據各式的規律，可推測： （x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）=
（2）根據你的結論計算： 1+2+22+23+…+22013+22014
（3）1+3+32+33+…+32013+32014的個位數字是 ．

Answer 1

【答案】
（1）xn﹣1
（2）解：1+2+22+23+…+22013+22014

=（2﹣1）×（1+2+22+23+…+22013+22014）

=22015﹣1；

（3）3
【解析】解：（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1
根據各式的規律，可推測：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）=xn﹣1；
所以答案是：xn﹣1；（3）32014+32013+32012+…+32+3+1
= ×（3﹣1）（32014+32013+32012+…+32+3+1）
= ．
∵3的冪的末尾數字4個一循環，2015÷4=503…3，
∴32015的末尾數字是7，
則原式的末尾數字是3．
所以答案是：3．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解多項式乘多項式的相關知識，掌握多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．