Question

新定義：若x₀=ax₀²+bx₀+c成立，則稱點（x₀，x₀）為拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上的不動點．設拋物線C的解析式為：y=ax²+（b+1）x+（b-1），（a≠0）
（1）拋物線C過點（0，-3）；如果把拋物線C向左平移個單位后其頂點恰好在y軸上，求拋物線C的解析式及其上的不動點；
（2）對于任意實數b，實數a應在什么范圍內，才能使拋物線C上總有兩個不同的不動點？
（3）設a為整數，且滿足a+b+1=0，若拋物線C與x軸兩交點的橫坐標分別為x₁，x₂，是否存在整數k，使得 成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得出：
，
解得：，
∴拋物線解析式為：y=x²-x-3，
令x=x²-x-3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴不動點為：（-1，-1）和（3，3）；

（2）∵拋物線C有兩個不同的動點，
∴x=ax²+（b+1）x+（b-1），
整理得：ax²+bx+（b-1）=0，
∵拋物線C有兩個不同點，
∴△＞0，
即b²-4a（b-1）＞0，
b²-4ab+4a＞0，
∵b為任意實數，且使得上式成立；
∴必有（-4a）²-4×1×4a＜0，
整理得：a²-a＜0，
從而，得或，
解得：0＜a＜1，
∴實數a的取值范圍應為：0＜a＜1；

（3）由a+b+1=0，得b=-a-1代入拋物線C，得y=ax²-ax-（a+2），
∵x₁與x₂是拋物線C與x軸的交點橫坐標，
∴△=a²+4a（a+2）＞0，
解得：a＞0或a＜-，
由根與系數的關系得：
x₁+x₂=1，x₁•x₂=-，
∴k=3++=3+=（a＞0或a＜-，且a為整數）
要使k為整數，取a=-4，-3，-1，0，其中a=-1，0不合題意舍去；
∴存在，．
分析：（1）根據已知得出b-1=-3，-=，即可得出a，b的值，進而得出圖象上的不動點；
（2）根據拋物線C有兩個不同的動點，得出x=ax²+（b+1）x+（b-1），再利用拋物線C有兩個不同點，得出△＞0，即b²-4a（b-1）＞0，
由b為任意實數，且使得上式成立；則必有（-4a）²-4×1×4a＜0，進而得出a的取值范圍；
（3）首先根據x₁與x₂是拋物線C與x軸的交點橫坐標，得出△=a²+4a（a+2）＞0，再利用根據與系數關系，求出a的取值即可．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及根與系數的關系和不等式組的解法、根的判別式可計算出等知識，正確得出不等式解集是解題關鍵．