Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AO為⊙O'的直徑，⊙O的弦AC交⊙O'于D點，OC和BD相交于E點，AB=4，∠CAB=30°．求CE、DE的長．

Answer 1

分析：連接OD、BC，根據圓周角定理知OD、BC都與AC垂直，因此OD∥BC，而AO=OB，即OD是△ABC的中位線，因此OD：BC=1：2，易證得△OED∽△CEB，根據OD、BC的比例關系知：兩個三角形的相似比為1：2，可得EC=2OE、BE=2DE，欲求CE、DE，必須先求出OC、BD的長；已知了⊙O的直徑AB的長，即可得到半徑OC的長，根據CE、OC的比例關系即可求出CE的值；在Rt△OAD和Rt△ABC中，通過解直角三角形，可求出AD、BC的長，由于OD⊥AC，根據垂徑定理可得到CD的長，那么在Rt△BCD中，通過勾股定理即可求得BD的值，根據DE、BD的比例關系，可得到DE的長，由此得解．

解答：解法一：連接OD、BC，（1分）
∵AO、AB分別是⊙O'和⊙O的直徑，
∴∠ADO=∠ACB=90°，且AD=DC，（2分）
∴OD∥BC，BC=2OD，（3分）
∴△OED∽△CEB，
∴

DE

BE

=

OE

CE

=

OD

BC

=

1

2

，（5分）
∴

DE

BD

=

1

3

，CE=

2

3

OC=

1

3

AB=

4

3

，（6分）
在Rt△AOD和Rt△ABC中，∠OAD=30°，AB=4，
∴BC=2OD=

1

2

AB=2，
AC=AB•cos30°=2

3

，（8分）
∴AD=CD=

3

，
又在Rt△BDC中，BD=

BC2+CD2

=

7

，
∴DE=

1

3

BD=

7

3

．（9分）

解法二：同解法一證得AD=DC，（2分）
可再連接O'D，則O'D∥OC，（3分）
∴

BE

DE

=

BO

00′

=2，

OE

O′D

=

BO

BO′

=

2

3

，（4分）
∴DE=

1

3

BD，OE=

2

3

O′D=

2

3

，（6分）
以下同解法一．

點評：此題主要考查了圓周角定理、三角形中位線定理、解直角三角形以及相似三角形的性質等知識，能夠得到DE、BE以及CE、OE的比例關系是解答此題的關鍵．