Question

已知：如圖，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，過B點作⊙O₁的切線交⊙O₂于D點，連接DA并延長⊙O₁相交于C點，連接BC，過A點作AE∥BC與⊙O相交于E點，與BD相交于F點．
（1）求證：EF•BC=DE•AC；
（2）若AD=3，AC=1，AF=

3

，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接AB，證明△ACB∽△FED，根據相似三角形的性質，可得EF•BC=DE•AC；
（2）先證出△AFB∽△BAC，利用相似三角形的性質，得

AF

AB

=

AB

BC

，可求出AB的長；連接BE，利用△ACB∽△EBD，利用相似三角形的性質，可得

AB

DE

=

CB

DB

，可求出DE的長，再將所求數據代入EF•BC=DE•AC；便可求出EF的長．

解答：（1）證明：連接AB，切線DB另一端為G
∵BD是切線
∴∠ABD=∠ACB，∠CBG=∠CAB
∵∠ABD=∠DEF
∴∠ACB=∠DEF
∵AE∥BC
∴∠CBG=∠AFB
∵∠AFB=∠DFE
∴∠CAB=∠DFE
∴△ABC∽△FDE
∴

BC

DE

=

AC

EF

∴EF•BC=DE•AC；

（2）解：∵CB∥AE，
∴

AD

DC

=

AF

CB

，
∴

3

4

=

3

CB

，
∴CB=

4 3

3

，
∵BD為⊙O₁的切線，
∴∠ABD=∠C，
又∵CB∥AE，
∴∠ABC=∠BAF，
∴△AFB∽△BAC，
∴

AF

AB

=

AB

BC

，
∴AB²=AF•BC=

3

×

4 3

3

=4，
∴AB=2．
又∵DB²=AD•CD，
∴DB=

3×4

=2

3

，
連接BE，∴△ACB∽△EBD，
∴

AB

DE

=

CB

DB

，
∴

2

DE

=

4 3 3

2 3

，
∴DE=3．
∵EF•BC=DE•AC，
∴EF•

4 3

3

=3×1，
∴EF=

3 3

4

．

點評：本題不僅考查了和圓相關的相似三角形的性質，還考查了切割線定理、圓內接四邊形的性質等知識，有一定的難度．