Question

（2001•黃岡）已知，如圖，⊙O₁和⊙O₂內切于點P，過點P的直線交⊙O₁于點D，交⊙O₂于點E；DA與⊙O₂相切，切點為C．
（1）求證：PC平分∠APD；
（2）PE=3，PA=6，求PC的長．

Answer 1

分析：（1）首先過點P作兩圓的公切線PT，由弦切角定理，可得∠TPC=∠4，∠3=∠D，又由三角形外角的性質，易證得∠2=∠5，又由DA與⊙O₂相切，切點為C，可得∠5=∠1，繼而可得PC平分∠APD；
（2）首先證得△PCA∽△PEC，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得PC²=PA•PE，繼而求得答案．

解答：（1）證明：過點P作兩圓的公切線PT．
∴∠TPC=∠4，∠3=∠D，
∵∠4=∠D+∠5，
∴∠2+∠3=∠D+∠5．
∴∠2=∠5．
又∵DA與⊙O相切于點C，
∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，
∴PC平分∠APD；

（2）解：∵DA與⊙O₂相切于點C，
∴∠PCA=∠4，
由（1）知∠2=∠1．
∴△PCA∽△PEC．
∴

PC

PE

=

PA

PC

，
即PC²=PA•PE．
∵PE=3，PA=6，
∴PC²=18，
∴PC=3

2

．

點評：此題考查了相切圓的性質、弦切角定理、相似三角形的判定與性質以及角平分線的定義．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．