Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連結CE．

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝　 　°．

（2）設∠BAC＝α，∠BCE＝β．

①如圖2，當點D在線段BC上移動時，α，β之間有怎樣的數量關系？請說明理由．

②當點D在直線BC上移動時，α，β之間有怎樣的數量關系？請你在備用圖上畫出圖形，并直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）①α+β＝180°，見解析；②見解析，α＝β

【解析】

（1）先用等式的性質得出∠CAE＝∠BAD，進而得出△ABD≌△ACE，有∠B＝∠ACE，最后用等式的性質即可得出結論；

（2）①由（1）的結論即可得出α+β＝180°；②同（1）的方法即可得出結論．

解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC；

∴∠CAE＝∠BAD；

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

∴∠B＝∠ACE；

∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝∠BCA+∠B＝180°﹣∠BAC＝90°；

故答案為90°；

（2）①由（1）中可知β＝180°﹣α，

∴α、β存在的數量關系為α+β＝180°；

②當點D在射線BC上時，如圖1，

同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；

∴∠ABD＝∠ACE，

∴β＝∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，

∴α+β＝180°；

當點D在射線BC的反向延長線上時，如圖2，

同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；

∴∠ABD＝∠ACE，

∴β＝∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝∠ABD﹣∠ACB＝∠BAC＝α，

∴α＝β．