Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB=BC．CD∥AB，點D在點C的右側，點A，E關于直線BD對稱，CE交BD于點F，AE交DB延長線于點G．

（1）（猜想）

如圖①，當∠ABC=90°時，∠EFG=________；

（2）（探究）

在（1）的前提下，若AB=4，CD=1，求EF的長；

（3）（應用）

如圖②，當∠ABC=120°時，若EF=2 ，AB=2，則CD=________．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）EF= ；（3） -1

【解析】

（1）連接BE，利用軸對稱的性質得BE=BC=AB，然后利用等腰三角形的性質以及三角形內角、外角關系求解即可；

（2）易證△ABG∽△BCD，利用相似三角形的性質得AG：BC=AB：BD，據此求出AG．由軸對稱性得GE=AG，由∠EFG=45°得EF=AG，計算即可得到答案；

（3）連接BE，過點C作CH⊥GD于H，同（1）可得∠BEF=∠BCE=∠CBF=15°，進而得BF=CF=，則CH=，進而得CD=CH，故可求．

（1）連接BE，如圖所示：

因為點A，E關于直線BD對稱，且AB=BC，所以利用軸對稱的性質得BE=BC=AB，且.由等腰三角形的性質可得，，又因為三角形ACE的內角等于，且∠ABC=90°，AB=BC，所以三角形ACE的內角等于，所以 ，又因為，所以，又因為，所以∠EFG=45°.

（2）解：∵CD∥AB，∴∠D=∠ABG．

又∠AGB=∠BCD=∠ABC=90°，

∴△ABG∽△BCD，

又∵AB=4，CD=1，AB=BC，

∴BD=，AB=BC=4，

∴AG：BC=AB：BD，可以得到AG= .由對稱性，得GE=AG= ．又由∠EFG=45°得EF=AG，∴EF= .

（3）連接BE，過點C作CH⊥GD于H，如下圖所示：

同（1）可得∠BEF=∠BCE=∠CBF=15°，進而得BF=CF=，則CH=，進而得CD=CH，故可求CD==-1.