Question

【題目】在矩形ABCD中，AD＞AB，點P是CD邊上的任意一點（不含C，D兩端點），過點P作PF∥BC，交對角線BD于點F．

（1）如圖1，將△PDF沿對角線BD翻折得到△QDF，QF交AD于點E．求證：△DEF是等腰三角形；

（2）如圖2，將△PDF繞點D逆時針方向旋轉得到△P'DF'，連接P'C，F'B．設旋轉角為α（0°＜α＜180°）．

①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的內部時，求證：△DP'C∽△DF'B．

②如圖3，若點P是CD的中點，△DF'B能否為直角三角形？如果能，試求出此時tan∠DBF'的值，如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②或 .

【解析】（1）根據翻折的性質以及平行線的性質可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；

（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，從而易證△DP′F′∽△DCB；

②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪個的角是直角，故需要對該三角形的內角進行分類討論．

（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，

∵PF∥BC，

∴∠DFP=∠ADF，

∴∠DFQ=∠ADF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的內部時，

∵∠P′DF′=∠PDF，

∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，

∴∠P′DC=∠F′DB，

由旋轉的性質可知：△DP′F′≌△DPF，

∵PF∥BC，

∴△DPF∽△DCB，

∴△DP′F′∽△DCB

∴ ，

∴△DP'C∽△DF'B；

②當∠F′DB=90°時，如圖所示，

∵DF′=DF=BD，

∴，

∴tan∠DBF′=；

當∠DBF′=90°，此時DF′是斜邊，即DF′＞DB，不符合題意；

當∠DF′B=90°時，如圖所示，

∵DF′=DF=BD，

∴∠DBF′=30°，

∴tan∠DBF′=.