Question

【題目】問題：如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數量關系．

（1）【發現證明】
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，從而發現EF=BE+FD，請你利用圖（1）證明上述結論．
（2）【類比引申】
如圖（2），四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足關系時，仍有EF=BE+FD．
（3）【探究應用】
如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點E、F，且AE⊥AD，DF=40（ ﹣1）米，現要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結果取整數，參考數據： =1.41， =1.73）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖（1），

∵△ADG≌△ABE，

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，

又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，

∴∠GAF=∠FAE，

在△GAF和△FAE中，

，

∴△AFG≌△AFE（SAS），

∴GF=EF，

又∵DG=BE，

∴GF=BE+DF，

∴BE+DF=EF

（2）∠BAD=2∠EAF
（3）

如圖3，把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG，連接AF，過A作AH⊥GD，垂足為H．

∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，

∴∠BAE=60°．

又∵∠B=60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=80米．

根據旋轉的性質得到：∠ADG=∠B=60°，

又∵∠ADF=120°，

∴∠GDF=180°，即點G在 CD的延長線上．

易得，△ADG≌△ABE，

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，

又∵AH=80× =40 ，HF=HD+DF=40+40（ ﹣1）=40

故∠HAF=45°，

∴∠DAF=∠HAF﹣∠HAD=45°﹣30°=15°

從而∠EAF=∠EAD﹣∠DAF=90°﹣15°=75°

又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF

∴根據上述推論有：EF=BE+DF=80+40（ ﹣1）≈109（米），即這條道路EF的長約為109米．

【解析】【類比引申】延長CB至M，使BM=DF，連接AM，證△ADF≌△ABM，證△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究應用】利用等邊三角形的判定與性質得到△ABE是等邊三角形，則BE=AB=80米．把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG，只要再證明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．
【類比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如圖（2），延長CB至M，使BM=DF，連接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．

【考點精析】掌握旋轉的性質是解答本題的根本，需要知道①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．