Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為48cm，∠A=60°，動點P從點A出發，沿著線路AB﹣BD做勻速運動，動點Q從點D同時出發，沿著線路DC﹣CB﹣BA做勻速運動．

（1）求BD的長；

（2）已知動點P、Q運動的速度分別為8cm/s、10cm/s．經過12秒后，P、Q分別到達M、N兩點，試判斷△AMN的形狀，并說明理由，同時求出△AMN的面積；

（3）設問題（2）中的動點P、Q分別從M、N同時沿原路返回，動點P的速度不變，動點Q的速度改變為a cm/s，經過3秒后，P、Q分別到達E、F兩點，若△BEF為直角三角形，試求a的值．

Answer 1

【答案】（1）48cm；（2）288（cm2）；（3）若△BEF為直角三角形，a的值為4或12或24．

【解析】

試題分析：（1）根據菱形的性質得AB=BC=CD=AD=48，加上∠A=60°，于是可判斷△ABD是等邊三角形，所以BD=AB=48；

（2）如圖1，根據速度公式得到12秒后點P走過的路程為96cm，則點P到達點D，即點M與D點重合，12秒后點Q走過的路程為120cm，而BC+CD=96，易得點Q到達AB的中點，即點N為AB的中點，根據等邊三角形的性質得MN⊥AB，即△AMN為直角三角形，然后根據等邊三角形面積可計算出S△AMN=288cm2；

（3）由△ABD為等邊三角形得∠ABD=60°，根據速度公式得經過3秒后點P運動的路程為24cm、點Q運動的路程為3acm，所以BE=DE=24cm，

然后分類討論：當點Q運動到F點，且點F在NB上，如圖1，則NF=3a，BF=BN﹣NF=24﹣3a，由于△BEF為直角三角形，而∠FBE=60°，只能得到∠EFB=90°，所以∠FEB=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得24﹣3a=×24，解得a=4；當點Q運動到F點，且點F在BC上，如圖2，則NF=3a，BF=BN﹣NF=3a﹣24，由于△BEF為直角三角形，而∠FBE=60°，若∠EFB=90°，則∠FEB=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得3a﹣24=×24，解得a=12；若∠EFB=90°，易得此時點F在點C處，則3a=24+48，解得a=24．

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=48，

∵∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴BD=AB=48，

即BD的長是48cm；

（2）如圖1，12秒后點P走過的路程為8×12=96，則12秒后點P到達點D，即點M與D點重合，

12秒后點Q走過的路程為10×12=120，而BC+CD=96，所以點Q到B點的距離為120﹣96=24，則點Q到達AB的中點，即點N為AB的中點，

∵△ABD是等邊三角形，而MN為中線，

∴MN⊥AB，

∴△AMN為直角三角形，

∴S△AMN=S△ABD=××482=288（cm2）；

（3）∵△ABD為等邊三角形，

∴∠ABD=60°，

經過3秒后，點P運動的路程為24cm、點Q運動的路程為3acm，

∵點P從點M開始運動，即DE=24cm，

∴點E為DB的中點，即BE=DE=24cm，

當點Q運動到F點，且點F在NB上，如圖1，則NF=3a，

∴BF=BN﹣NF=24﹣3a，

∵△BEF為直角三角形，

而∠FBE=60°，

∴∠EFB=90°（∠FEB不能為90°，否則點F在點A的位置），

∴∠FEB=30°，

∴BF=BE，

∴24﹣3a=×24，

∴a=4；

當點Q運動到F點，且點F在BC上，如圖2，則NF=3a，

∴BF=BN﹣NF=3a﹣24，

∵△BEF為直角三角形，

而∠FBE=60°，

若∠EFB=90°，則∠FEB=30°，

∴BF=BE，

∴3a﹣24=×24，

∴a=12；

若∠EFB=90°，即FB⊥BD，

而DE=BE，

∴點F在BD的垂直平分線上，

∴此時點F在點C處，

∴3a=24+48，

∴a=24，

綜上所述，若△BEF為直角三角形，a的值為4或12或24．