Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A（0，α），B（b，α），且α、b滿足（a﹣2）+=0，現同時將點A，B分別向下平移2個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD，AB．

（1）求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積．

（2）在y軸上是否存在一點M，連接MC，MD，使S△MCD=2S四邊形ABDC？若存在這樣一點，求出點M的坐標，若不存在，試說明理由；

（3）點P是直線BD上的一個動點，連接PA，PO，當點P在直線BD上移動時（不與B，D重合）直接寫出∠BAP，∠DOP，∠APO之間滿足 的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）C（1，0），D（2，0）,S四邊形ABDC＝6；(2) M（0，8）或（0，8）；(3) ①當點P在線段BD上移動時，∠APO＝∠DOP＋∠BAP②當點P在DB的延長線上時，∠DOP＝∠BAP＋∠APO；③當點P在BD的延長線上時，∠BAP＝∠DOP＋∠APO．

【解析】

（1）先由非負數性質求出a＝2，b＝4，再根據平移規律，得出點C，D的坐標，然后根據四邊形ABDC的面積＝AB×OA即可求解；

（2）存在．設M坐標為（0，m），根據S△PAB＝S四邊形ABDC，列出方程求出m的值，即可確定M點坐標；

（3）分三種情況討論，過P點作PE∥AB交OC與E點，根據平行線的性質即可求解．

（1）∵（a﹣2）+=0，

∴a﹣2=0，b-3=0

∴a＝2，b＝3，

∴A（0，2），B（3，2），AB=3,OA=2

∵點A，B分別向下平移2個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，

∴C（1，0），D（2，0）,CD=3

∴S四邊形ABDC＝AB×OA＝3×2＝6；

（2）在y軸上存在一點M，使S△MCD＝S四邊形ABCD．設M坐標為（0，m）．

∵S△MCD＝2S四邊形ABDC，

∴×3|m|＝12，

∴|m|＝8，

解得m＝±8．

∴M（0，8）或（0，8）；

（3）①當點P在線段BD上移動時，∠APO＝∠DOP＋∠BAP

理由如下：

過點P作PE∥AB交OA于E．

∵CD由AB平移得到，則CD∥AB，

∴PE∥CD∥AB，

∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，

∴∠BAP＋∠DOP＝∠APE＋∠OPE＝∠APO，

②當點P在DB的延長線上時，∠DOP＝∠BAP＋∠APO；

理由如下：

過點P作PE∥AB交OA于E．

∵CD由AB平移得到，則CD∥AB，

∴PE∥CD∥AB，

∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，

∴∠BAP＋∠APO＝∠APE＋∠APO＝∠OPE =∠DOP，

③當點P在BD的延長線上時，∠BAP＝∠DOP＋∠APO．

理由如下：

過點P作PE∥AB交OA于E．

∵CD由AB平移得到，則CD∥AB，

∴PE∥CD∥AB，

∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，

∴∠DOP＋∠APO＝∠OPE＋∠APO＝∠APE =∠BAP．