Question

如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AE是直徑，AD是高交⊙O于F，連接BE、CF，下列結論正確的有幾個？
①BE=CF；②AB•AC=AD•AE；③AD•DF=BD•CD；④AD²+BD²+FD²+CD²=AE²．

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：由△ABC是⊙O的內接三角形，AE是直徑，AD是高，易證得△ABE∽△ADC，△ABD∽△CFD，然后由相似三角形的性質，證得①②③正確，又由勾股定理，即可證得④正確．
解答：∵AE是直徑，
∴∠ABE=90°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠BAE=∠CAF，AB：AD=AE：AC，
∴=，AB•AC=AD•AE；
∴BE=CF，
故①②正確；
∵∠ABC=∠AFC，∠BAF=∠BCF，
∴△ABD∽△CFD，
∴AD：CD=BD：DF，
∴AD•DF=BD•CD；
故③正確；
∵在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，
在Rt△CDF中，FD²+CD²=CF²，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，
∵BE=CF，
∴AD²+BD²+FD²+CD²=AE²．
故④正確．
故選D．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．