Question

【題目】如圖,△ABC是邊長為a的等邊三角形,P是△ABC內的任意一點,過點P作EF∥AB分別交AC,BC于點E,F,過點P作GH∥BC分別交AB,AC于點G,H,過點P作MN∥AC分別交AB,BC于點M,N,猜想EF+GH+MN的值是多少.其值是否隨點P位置的改變而改變?并說明理由.

Answer 1

【答案】解:EF+GH+MN=2a,EF+GH+MN的值不隨點P位置的改變而改變.理由如下:
∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.
∵GH∥BC,
∴∠AGH=∠B=60°,∠AHG=∠C=60°.
∴△AGH是等邊三角形,
∴GH=AG=AM+MG.①
同理△BMN是等邊三角形,
∴MN=MB=MG+GB.②
∵MN∥AC,EF∥AB,
∴四邊形AMPE是平行四邊形,
∴PE=AM.
同理可證四邊形BFPG是平行四邊形,
∴PF=GB.
∴EF=PE+PF=AM+GB.③
由①②③,得
EF+GH+MN=(AM+GB)+(AM+MG)+(MG+GB)=2(AM+MG+GB)=2AB=2a
【解析】根據已知條件△ABC是等邊三角形及GH∥BC、MN∥AC，證明△AGH和△BMN是等邊三角形，從而得出GH=AG=AM+MG，MN=MB=MG+GB，再證明四邊形AMPE和四邊形BFPG是平行四邊形,得出PE=AM，PF=GB，然后通過等量代換就可得出EF+GH+MN=2AB即可。