Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，按下列條件得到的四邊形BFDE是平行四邊形的個數是（　　）

①圖甲，DE⊥AC，BF⊥AC ②圖乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC

③圖丙，E是AB的中點，F是CD的中點 ④圖丁，E是AB上一點，EF⊥AB．

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由DE⊥AC，BF⊥AC，可得DE∥BF，又由四邊形ABCD是平行四邊形，利用△ACD與△ACB的面積相等，即可判定DE=BF，然后由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證得四邊形BFDE是平行四邊形；
②由四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，易證得△ADE≌△CBF，則可判定DE∥BF，DE=BF，繼而證得四邊形BFDE是平行四邊形；
③由四邊形ABCD是平行四邊形，E是AB的中點，F是CD的中點，易證得DF∥BE，DF=BE，繼而證得四邊形BFDE是平行四邊形；
④無法確定DF=BE，只能證得DF∥BE，故不能判定四邊形BFDE是平行四邊形．

①∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ ∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴DE∥BF,

∴DE=BF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

②∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ADC=∠ABC,AD=CB,AD∥BC，

∴∠DAE=∠BCF，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，

∴∠ADE=∠CBF，

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF(ASA)，

∴DE=BF，∠AED=∠BFC，

∴∠DEF=∠BFE，

∴DE∥BF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

③證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵E是AB的中點，F是CD的中點，

∴

∴DF=BE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

④∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵E是AB上一點，EF⊥AB，

無法判定DF=BE，

∴四邊形BFDE不一定是平行四邊形。

故選：C.