Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+m經(jīng)過點A（﹣2，n），B（1， ），拋物線y=x2﹣2tx+t2﹣1與x軸相交于點C，D．

（1）求點A的坐標；

（2）設(shè)點E的坐標為（，0），若點C，D都在線段OE上，求t的取值范圍；

（3）若該拋物線與線段AB有公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，3）；（2）1≤t≤；（3）﹣4≤t≤或0≤t≤．

【解析】（1）根據(jù)已知條件解方程即可得到結(jié)論；

（2）當y=0時，即x2﹣2tx+t2﹣1=0，得到C（t﹣1，0），D（t+1，0），解不等式組即可得到結(jié)論；

（3）當拋物線經(jīng)過點A時，解方程得到t1=﹣4，t2=0，即當t=﹣4時，點A在拋物線的對稱軸的右側(cè)，當t=0時，點A在對稱軸的左側(cè)，當拋物線經(jīng)過點B時解方程得到t1=，t2=，即當t=時，點B在拋物線的對稱軸的右側(cè)，當t=時，點B在對稱軸的左側(cè)，于是得到結(jié)論．

解：（1）∵直線y=﹣x+m經(jīng)過點A（﹣2，n），B（1，），

∴=﹣+m，

∴m=，

∴直線的解析式為y=﹣x+，

∴n=﹣×（﹣2）+=3，

∴A的坐標（﹣2，3）；

（2）當y=0時，即x2﹣2tx+t2﹣1=0，

解得：x1=t﹣1，x2=t+1，

∴C（t﹣1，0），D（t+1，0），

∵點C，D都在線段OE上，

∴0≤t﹣1＜t+1≤，即，

∴1≤t≤，

∴t的取值范圍是1≤t≤；

（3）當拋物線經(jīng)過點A時，3=4+4t+t2﹣1，

解得：t1=﹣4，t2=0，

即當t=﹣4時，點A在拋物線的對稱軸的右側(cè)，當t=0時，點A在對稱軸的左側(cè)，

當拋物線經(jīng)過點B時， =1﹣24t+t2﹣1，

解得：t1=，t2=，

即當t=時，點B在拋物線的對稱軸的右側(cè)，當t=時，點B在對稱軸的左側(cè)，

∵拋物線與線段AB有公共點，

∴t的取值范圍為：﹣4≤t≤或0≤t≤．

“點睛”本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，方程和不等式的解法，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．