Question

小題1:如圖1，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊的中點，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，延長BF交CD邊于點G，則FG=DG，求出此時DG的值；

小題2:如圖2，矩形ABCD中，AD>AB，AB=1，點E是AD邊的中點，同樣將△ABE沿BE翻折得到△FBE，延長BF交CD邊于點G．

①證明：FG=DG；
②若點G恰是CD邊的中點，求AD的值；
③若△ABE與△BCG相似，求AD的值．

Answer 1

 
小題1:解：設DG為x，
由題意得：BG=1+x，CG=1-x，
由勾股定理得：，
有：，
解得：．
∴DG=．              
小題2:①證明：連接EG，
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴AE=FE， ∠EFB=∠EAB=90°，
∴∠EFG=∠EDG=90°．
∵AE=DE，
∴FE=DE．
∵EG=EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG (HL) ．
∴DG=FG．                   ………………………………………………… 5分
②解：若G是CD的中點，則DG=CG=，
在Rt△BCG中，，
∴AD=．                   ……………………………………
③解：由題意AB∥CD，∴∠ABG=∠CGB．
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴∠ABE=∠FBE=∠ABG，∴∠ABE=∠CGB．
∴若△ABE與△BCG相似，則必有∠ABE=∠CBG==30°．
在Rt△ABE中，AE=ABtan∠ABE=，
∴AD="2" AE=．            …………………………………………………    10分

 略