Question

正方形ABCD中，點P是AD上的一動點（與點D、點A不重合），DE⊥CP，垂足為E，EF⊥BE與DC交于點F．

小題1:求證：△DEF∽△CEB；
小題2:當點P運動到DA的中點時，求證：點F為DC的中點.

Answer 1

 
小題1:∵ DE⊥CP，EF⊥BE，
∴ ∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，
∴ ∠1=∠2.                       ……………………………（2分）
∵ 四邊形ABCD是正方形，∴ ∠4+∠6=∠DCB=90°，
在Rt△DEC中，∠4+∠5=90°，
∴ ∠5=∠6，                     ……………………………（5分）
∴ △DEF∽△CEB.               ……………………………（6分）

小題2:∵ 四邊形ABCD是正方形，
∴ 當點P運動到DA的中點時，PD=AD=DC.
∴ 在Rt△PDC中，tan∠4=，
∵ 在Rt△DEC中，tan∠4=，
∴ .               ……………………………（9分）
∵ △DEF∽△CEB，
∴ .               ……………………………（11分）
∵ CB=DC， 
∴
∴ 點F為DC的中點.            ……………………………（12分）
(注：用其它方法求解參照以上標準給分.)

 略