Question

（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)、點(diǎn)，且與軸的另一交點(diǎn)為，其中＞0，又點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)，并在圖1中的上找一點(diǎn)，使到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和最小；

（2）若△周長(zhǎng)的最小值為，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，在線段上有一動(dòng)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)(不與端點(diǎn)、重合)，過點(diǎn)作∥交軸于點(diǎn),設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為秒，試把△的面積表示成時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，并求出最大值.

 

Answer 1

見解析

解析:（1）由題意直線AC與x軸的交點(diǎn)為A，

所以當(dāng)y=0，則x=﹣6，

所以點(diǎn)A（﹣6，0）．

同理點(diǎn)C（0，8），

由題意，A、B是拋物線y=ax²+bx+8與x軸的交點(diǎn)，

∴﹣6，x₀是一元二次方程ax²+bx+8=0的兩個(gè)根，

∴﹣6+x₀=﹣，﹣6x₀=，

∴a=﹣，b=﹣+．

∵A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱，∴BC所在直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為P₀．

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，則n=8，mx₀+n=0，

∴m=﹣，n=8．

∴BC的解析式為y=﹣x+8．

∴當(dāng)x=﹣=時(shí)，y=+4，

∴P₀的坐標(biāo)為（，+4）；

（2）由（1）可知三角形PAC最小即為AC+BC=10，

+=10，

解得x₀=10或x₀=﹣10（不符舍去），

則點(diǎn)B（10，0），

由點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)式為y==﹣（x﹣2）²+．

頂點(diǎn)N（2，）；

（3）如圖，作MN⊥BC于點(diǎn)N，

則△OBC∽△NCM，

所以=，

即h=．

因?yàn)镸H∥BC，

所以，

解得MH==，

S=MHh，

=×（8﹣2t）×，

=10t﹣，

因?yàn)槊棵胍苿?dòng)2個(gè)單位，

則當(dāng)t=2時(shí)符合范圍0＜t＜4，

所以當(dāng)t為2時(shí)S最大為10；