Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx +3與x軸的交點為A和B，其中點A(-1，0)，且點D(2，3)在該拋物線上．

（1）求該拋物線所對應的函數解析式；

（2）點P是線段AB上的動點(點P不與點A，B重合)，過點P作PQ⊥x軸交該拋物線于點Q，連接AQ，DQ，記點P的橫坐標為t．

①若時，求△面積的最大值；

②若△是以Q為直角頂點的直角三角形時，求所有滿足條件的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當時，△ADQ面積最大為；②Q（，）或（，）．

【解析】

（1）把A(-1,0），D（2，3）代入解析式即可求解；

（2）①由P的橫坐標為t， Q（t，）,求出直線AD的解析式為，設點C為直線PQ與直線AD的交點，求得點坐標為（），得到，利用，將△面積表示為關于t的二次函數，故可求解；

②△AQD是以Q為直角頂點的直角三角形時,∠AQD=90°，過點D作DK⊥PQ于點K，

證明△PQA∽△KDQ得到，代入得，解出t即可求解．

（1）解：將A(-1,0）和點D（2，3）代入得，

，

解得，

∴該拋物線的解析式為．

（2）①由P的橫坐標為t，則P（t，0），Q（t，）．

設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0）

把A（-1，0），D（2，3）代入得

解得

∴直線AD的解析式為

如圖：設點C為直線PQ與直線AD的交點

當時，

∴點坐標為（）

∴

∴

拋物線開口向下

∴當時，△ADQ面積最大為；

②△AQD是以Q為直角頂點的直角三角形時,∠AQD=90°，

過點D作DK⊥PQ于點K，

∴∠APQ=∠QKD=90°，

∵∠DQK+∠PQA=90°，

又∠DQK+∠KDQ=90°，

∴∠PQA=∠KDQ，

∴△PQA∽△KDQ

∴，

∴，

∴，

∵，（即Q不與A、D重合），

∴，整理得：，

解得，

經驗證，、均符合題意，

其中：，符合圖a的情況，，符合圖b的情況．

當時，；當時，，

∴Q（，）或（，）．