Question

【題目】如圖，正方形中，，分別為，上的點，，交于點，交于點，為的中點，交于點，連接.下列結論：①；②；③；④.其中正確的結論有（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①可證△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得證．

②由題意正方形中∠ABO=∠BCO，在上面所證∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得證．

③利用AAS證明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中點時，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）錯誤．

④過O點作OG垂直于OH，OG交CH于G點，由題意可證得三角形OGC與三角形OHB全等．按照前述作輔助線之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，則在證明證明三角形OGC與三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．

解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，

∴△ABF≌△BEC，

∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，

∴△BEH∽△ABF，

∴∠BAF=∠BHE=90°，

即BF⊥EC，①正確；

∵四邊形是正方形，

∴BO⊥AC，BO=OC，

由題意正方形中∠ABO=∠BCO，在上面所證∠BCE=∠ABF，

∴∠ECO=∠FBO，

∴△OBM≌△ONC，

∴ON=OM，

即②正確；

③∵△OBM≌△ONC，

∴BM=CN，

∵∠BOM=90°，

∴當H為BM中點時，OH=BM=CN（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），

因此只有當H為BM的中點時，OH=CN，故③錯誤；

④過O點作OG垂直于OH，OG交CH與G點，

在△OGC與△OHB中，

故△OGC≌△OHB，

∵OH⊥OG，

∴△OHG是等腰直角三角形，

按照前述作輔助線之后，△OHG是等腰直角三角形，OH乘以之后等于HG，

則在證明三角形OGC與三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．

綜上所述，①②④正確．

故選擇：B.