Question

【題目】如圖，頂點為M的拋物線y=a（x+1）2﹣4分別與x軸相交于點A，B（點A在點B的右側），與y軸相交于點C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）判斷△BCM是否為直角三角形，并說明理由．
（3）拋物線上是否存在點N（點N與點M不重合），使得以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=a（x+1）2﹣4與y軸相交于點C（0，﹣3）．

∴﹣3=a﹣4，

∴a=1，

∴拋物線解析式為y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3

（2）

解：△BCM是直角三角形

理由：由（1）有，拋物線解析式為y=（x+1）2﹣4，

∵頂點為M的拋物線y=a（x+1）2﹣4，

∴M（﹣1，﹣4），

由（1）拋物線解析式為y=x2+2x﹣3，

令y=0，

∴x2+2x﹣3=0，

∴x1=﹣3，x2=1，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，

∴BC2+CM2=BM2，

∴△BCM是直角三角形

（3）

解：存在，N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ），

∵以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，且點M是拋物線的頂點，

∴①點N在x軸上方的拋物線上，

如圖，

由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，

∴BC=3 ，CM= ，

∴S△BCM= BC×CM= ×3 × =3，

設N（m，n），

∵以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，

∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，

∴S△ABN=S△BCM=3，

∵A（1，0），B（﹣3，0），

∴AB=4，

∴S△ABN= ×AB×n= ×4×n=2n=3，

∴n= ，

∵N在拋物線解析式為y=x2+2x﹣3的圖象上，

∴m2+2m﹣3= ，

∴m1=﹣1+ ，m2=﹣1﹣ ，

∴N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ）．

②如圖2，

②點N在x軸下方的拋物線上，

∵點C在對稱軸的右側，

∴點N在對稱軸右側不存在，只有在對稱軸的左側，

過點M作MN∥BC，交拋物線于點N，

∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），

∴直線BC解析式為y=﹣x﹣3，

設MN的解析式為y=﹣x+b

∵拋物線解析式為y=（x+1）2﹣4①，

∴M（﹣1，﹣4），

∴直線MN解析式為y=﹣x﹣5②，

聯立①②得 （舍）， ，

∴N（﹣2，﹣3），

即：N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ）或N（﹣2，﹣3）

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線解析式即可；（2）由拋物線解析式確定出拋物線的頂點坐標和與x軸的交點坐標，用勾股定理的逆定理即可；（3）根據題意判斷出點N只能在x軸上方的拋物線上，由已知四邊形的面積相等轉化出S△ABN=S△BCM ， 然后求出三角形BCM的面積，再建立關于點N的坐標的方程求解即可．