Question

【題目】如圖①，先把一矩形ABCD紙片上下對折，設折痕為MN；如圖②，再把點B 疊在折痕線MN上，得到Rt△ABE．過B點作PQ⊥AD，分別交BC、AD于點P、Q．

（1）求證：△PBE∽△QAB；
（2）在圖②中，EB是否平分∠AEC？請說明理由；
（3）在（1）（2）的條件下，若AB=4，求PE的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在矩形ABCD中

∵EC∥AD，又PQ⊥AD

∴PQ⊥EC，

∴∠EPB=∠BQA=90°，

∴∠BAQ+∠ABQ=90°

∵是把B點疊在MN上得到△ABE

∴∠ABE=90°

∴∠EBP+∠ABQ=90°

∴∠EBP=∠BAQ

∴△PBE∽△QAB

（2）

解：解：EB平分∠AEC，

理由如下：

∵△PBE∽△QAB，

∴

∵由折疊可知BQ=PB．

∴ 即 ，

又∵∠ABE=∠BPE=90°，

∴△PBE∽△BAE．

∴∠AEB=∠PEB，

∴EB平分∠AEC

（3）

解：∵PQ=AB=4，

∴PB=BQ=2，

在Rt△QAB中，AB=4，BQ=2，

∴AQ= =2

∵△PBE∽△QAB，

∴ ，

∴ ，

∴PE=

【解析】（1）先利用互余得出∠EBP=∠BAQ，進而得出結論；（2）由（1）的結論△PBE∽△QAB，得出 即 ，進而判斷出△PBE∽△BAE．即可得出∠AEB=∠PEB，結論得證；（3）先用勾股定理求出AQ，進而借助（1）的結論即可求出PE．
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質定理和相似三角形的判定的相關知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）才能正確解答此題．