Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交y軸于點B（0，3），交x軸于A，C兩點，C點坐標（4，0），點P是BC上方拋物線上一動點(P不與B，C重合)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P到直線BC距離是，求點P的坐標；

（3）連接AP交線段BC于點H，點M是y軸負半軸上一點，且CH=BM，當AH+CM的值最小時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）點M坐標（0，）．

【解析】

（1）將點B（4，0），C（0，3）代入原方程得出b、c的值即可求得；

（2）過點P作PE⊥BC于E，則PE=，過點P作PG∥BC于G，則PG=，設P點坐標為，則G點坐標為，即PG=，整理得，，解得或，即可求得點P的坐標；

（3）在Rt△BOC中，∠BOC=90°，可得BC=5，過點C作CH⊥x軸于N，使CN=BC；連接AN交BC于H交拋物線于點P，則點P即為所求，在射線CB上截取CH=BM，因為CN∥y軸，可得∠NCH=∠CBM，又因為CN=BC，可證△BMC≌△CHN(SAS)，即可得到HN=CM，AH+CM=AH+NH，所以當A，N，H三點共線時點P即為所求，AH+CM最小，設AH表達式為，把A（-1，0），N（4，5）代入上式，求得解析式為y=x+1，聯立方程組，解得，得到H點坐標是（），CH=BM=，即可得到點M坐標為（0，）；

（1）把B（4，0），C（0，3）代入原方程得，，

解得：，

∴；

（2）過點P作PE⊥BC于E，則PE=，

過點P作PG∥BC于G，則PG=，

設P點坐標為，則G點坐標為，

∴PG=，

即，

解得或，

∴P；

（3）∵在Rt△BOC中，∠BOC=90°，

∴BC=，

過點C作CH⊥x軸于N，使CN=BC；連接AN交BC于H交拋物線于點P，則點P即為所求，

在射線CB上截取CH=BM，

∵CN∥y軸，

∴∠NCH=∠CBM，

∵CN=BC，

∴△BMC≌△CHN(SAS)，

∴HN=CM，

∴AH+CM=AH+NH，

∴當A，N，H三點共線時點P即為所求，AH+CM最小，

設AH表達式為，

把A（-1，0），N（4，5）代入上式，

，

解得，

∴y=x+1，

聯立方程組

解得，

∴H點坐標是（），CH=BM=，

點M坐標（0，）；