Question

【題目】已知，如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s，點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s，連接PQ，若設運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：

（1）設△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；

（2）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣t2+3t．（2）不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分．

【解析】

試題分析：（1）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據Q的速度和時間t表示出來．關鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來求．AP的長可以用AB﹣BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出y與t的函數關系式．

（2）如果將三角形ABC的周長和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長，那么可以求出此時t的值，我們可將t的值代入（1）的面積與t的關系式中，求出此時面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時刻．

解：（1）過點P作PH⊥AC于H．

∵△APH∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴PH=3﹣t，

∴y=×AQ×PH=×2t×（3﹣t）=﹣t2+3t．

（2）不存在．

理由：∵若PQ把△ABC周長平分，

∴AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴（5﹣t）+2t=t+3+（4﹣2t），解得t=1．

若PQ把△ABC面積平分，則S△APQ=S△ABC，﹣t2+3t=3．

∵t=1代入上面方程不成立，

∴不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分．