Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑， BC交⊙O于點D，E是的中點，連接AE交BC于點F，∠ACB =2∠EAB．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若，，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

(1)連接AD，如圖，根據圓周角定理，再根據切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；

(2)作F做FH⊥AB于點H,利用余弦定義，再根據三角函數定義求解即可

(1)證明:如圖，連接AD．

∵ E是中點，

∴．

∴ ∠DAE=∠EAB．

∵ ∠C =2∠EAB，

∴∠C =∠BAD.

∵ AB是⊙O的直徑.

∴ ∠ADB=∠ADC=90°．

∴ ∠C+∠CAD=90°．

∴ ∠BAD+∠CAD=90°．

即 BA⊥AC

∴ AC是⊙O的切線．

(2)解：如圖②，過點F做FH⊥AB于點H．

∵ AD⊥BD，∠DAE=∠EAB，

∴ FH=FD，且FH∥AC．

在Rt△ADC中，

∵，，

∴ CD=6．

同理，在Rt△BAC中，可求得BC= ．

∴BD= ．

設 DF=x，則FH=x，BF=-x．

∵ FH∥AC，

∴ ∠BFH=∠C．

∴．

即．

解得x=2．

∴BF=．