Question

在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

小題1:如圖1，當AB∥CB₁時，設A₁B₁與BC相交于點D．證明：△A₁CD是等邊三角形；
小題2:如圖2，連接AA₁、BB₁，若△ACA₁的面積為S，求△BCB₁的面積
小題3:如圖3，設AC的中點為E，A₁B₁的中點為P，AC＝a，連接EP．求EP的長度最大時∠的度數，并求出此時EP的最大值．

Answer 1

小題1:易求得, , 因此得證.
小題1:易證得∽,且相似比為，得△BCB₁的面積為3s.
小題1:120°，  

本試題主要考查了三角形的相似的性質的運用，和平行的性質的靈活使用。第一問中當AB∥CB₁時，設A₁B₁與BC相交于點D．結合相似得到角相等，從而△A₁CD是等邊三角形
第二問中，連接AA₁、BB₁，若△ACA₁的面積為S，求△BCB₁的面積，結合∠ACB＝90°，
∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．
。可得。第三問設AC的中點為E，A₁B₁的中點為P，AC＝a，連接EP，利用EP的長度最大值得到。