Question

已知：如圖，是⊙O的直徑，點是上任意一點，過點作弦點是上任一點，連結交于連結AC、CF、BD、OD．

小題1: （1）求證：；
小題2:（2）猜想：與的數量關系，并證明你的猜想；
小題3: （3）試探究：當點位于何處時，△的面積與△的面積之比為1:2？并加以證明．

Answer 1

小題1:（1）證明：∵ 弦CD⊥直徑AB于點E， ∴ ． 
∴ ∠ACD =∠AFC．
又 ∵ ∠CAH=∠FAC，
∴ △ACH∽△AFC（兩角對應相等的兩個三角形相似）．--------------1分
小題2:（2）猜想：AH·AF=AE·AB．
證明：連結FB．
∵ AB為直徑，∴ ∠AFB=90°．
又∵ AB⊥CD于點E，∴ ∠AEH=90°．
∴． ∵ ∠EAH=∠FAB，
∴ △AHE∽△ABF．
∴ ．
∴ AH·AF=AE·AB．------------------------------------------------- -----3分
小題3:（3）答：當點位于的中點（或）時，△的面積與△的面積之比為1:2．
證明：設 △的面積為,△的面積為．
∵ 弦CD⊥直徑AB于點E， ∴ =，=．
∵位于的中點，∴．
又是⊙O的直徑，∴ ．
∴．
又 由垂徑定理知 CE=ED，∴ ．
∴ 當點位于的中點時，△的面積與△的面
積之比為1:2． -------------------------------------------------7分

略