Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，且．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點，點為線段上一動點，延長交拋物線于點，連結．

①當四邊形面積為9，求點的坐標；

②設，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）①點H的坐標為（2，﹣4）或（，﹣）；②m的最大值為.

【解析】

（1）根據題意可設設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4），易得C（0，﹣4），利用待定系數法確定函數關系式即可；

（2）①過點H作HM⊥x軸與點M，交BC于點N，設H（h，h2﹣h﹣4），根據S=S梯形ODHM+S△BHM得到關于h的方程，然后求解方程即可；

②設BC的解析式為y=kx+b，將B、C坐標代入求得BC的解析式為y=x﹣4，設H（n，n2﹣n﹣4），N（n，n﹣4），易證△PHN∽△PCD，利用相似三角形的性質與配方法即可得到m的最大值.

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4），

∵B（4，0），OB=OC，

∴C（0，﹣4），

代入上式可得：a（0+2）（0﹣4）=﹣4，

解得a=，

∴y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣x﹣4；

（2）①過點H作HM⊥x軸與點M，交BC于點N，

設H（h，h2﹣h﹣4），

則S=S梯形ODHM+S△BHM=（1﹣h2+h+4）·h+（﹣h2+h+4）（4﹣h），

整理得﹣h2+h+8=9，

解得h1=2，h2=，

∴點H的坐標為（2，﹣4）或（，﹣）；

②設BC的解析式為y=kx+b，

將B（4，0），C（0，﹣4）代入函數解析式，得

，

解得k=1，b=﹣4，

∴BC的解析式為y=x﹣4，

設H（n，n2﹣n﹣4），N（n，n﹣4），

∴HN= n﹣4﹣（n2﹣n﹣4）=﹣n2+2n，

∵HN∥CD，

∴△PHN∽△PCD，

∴＝﹣n2+n=﹣（n﹣2）2+，

則當n=2時，m=有最大值.