Question

【題目】如圖，BD為△ABC外接圓⊙O的直徑，且∠BAE=∠C．

（1）求證：AE與⊙O相切于點A；

（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=2．

【解析】（1）如圖，連接OA，根據同圓的半徑相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所對的圓周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直徑所對的圓周角是直角得：∠BAD=90°，可得結論；

（2）先證明OA⊥BC，由垂徑定理得：，FB=BC，根據勾股定理計算AF、OB、AD的長即可．

（1）如圖，連接OA，交BC于F，

則OA=OB，

∴∠D=∠DAO，

∵∠D=∠C，

∴∠C=∠DAO，

∵∠BAE=∠C，

∴∠BAE=∠DAO，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°，

即∠DAO+∠BAO=90°，

∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，

∴AE⊥OA，

∴AE與⊙O相切于點A；

（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，

∴OA⊥BC，

∴，FB=BC，

∴AB=AC，

∵BC=2，AC=2，

∴BF=，AB=2，

在Rt△ABF中，AF==1，

在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，

∴OB=4，

∴BD=8，

∴在Rt△ABD中，AD=．