Question

如圖，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F．
（1）求證：FB=FC；
（2）若FA=2

3

，AD=4

3

，求FB的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵A、C、B、F四點(diǎn)共圓
∴∠FBC=∠DAC
又∵AD平分∠EAC
∴∠EAD=∠DAC
又∵∠FCB=∠FAB（同弧所對(duì)的圓周角相等），∠FAB=∠EAD
∴∠FBC=∠FCB
∴FB=FC；

（2）∵∠BAC=∠BFC，∠FAB=∠FCB=∠FBC
∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC
∵∠AFC=∠CFD，
∴△FAC∽△FCD
∴FA：FC=FC：FD
∴FB²=FC²=FA•FD=2

3

×6

3

=36，
∴FB=6．