Question

【題目】順次連接平面直角坐標系xOy中，任意的三個點P，Q，G．如果∠PQG＝90°，那么稱∠PQG為“黃金角”．

已知：點A（0，3），B（2，3），C（3，4），D（4，3）．

（1）在A，B，C，D四個點中能夠圍成“黃金角”的點是　 　；

（2）當時，直線y＝kx+3（k≠0）與以OP為直徑的圓交于點Q（點Q與點O，P不重合），當∠OQP是“黃金角”時，求k的取值范圍；

（3）當P（t，0）時，以OP為直徑的圓與△BCD的任一邊交于點Q，當∠OQP是“黃金角”時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）B，C，D；（2）﹣≤k＜0；（3）6≤t≤.

【解析】

(1)描點,順次連接，看有幾個90°角.

（2）根據直線與圓有交點，分為相切和相交兩種情況進行求解.當相切時，根據切線的性質及J（,0），F（0，3）求出∠JFO＝∠JFQ＝30°，從而求∠OFH＝60°，最終求的H點的坐標代入直線方程即可.當相交時都符合條件，最終求出k的范圍

（3）根據（2）的分析，找出圓與三角形相切或相交的兩種極限情況求出的值，即為t邊界情況.

解：（1）觀察圖象可知：∠BCD＝90°，

∴在A，B，C，D四個點中能夠圍成“黃金角”的點是B，C，D；

故答案為B，C，D．

（2）如圖2中，當直線y＝kx+3與⊙J相切時，設直線y＝kx+3交y軸于點F，交x軸于點H，切點為Q，連接FJ．

∵FO，FQ是切線，

∴∠JFO＝∠JFQ，

∵J（，0），F（0，3），

∴tan∠JFO＝

∴∠JFO＝∠JFQ＝30°，

∴∠OFH＝60°，

∴OH＝OF＝3，

∴H（3，0），

把H（3，0）代入y＝kx+3，

得到k＝﹣，

觀察圖象可知：當直線y＝kx+3與⊙j有交點時，∠OQP是“黃金角”（點Q與點O，P不重合），

∴﹣≤k＜0．

（3）如圖3中，設以OP為直徑的圓的圓心為J．

由題意可知當以OP為直徑的圓與△BCD的邊有交點時，∠OQP是“黃金角”，

當⊙J與△BCD的邊相切時，J（3，0）．此時P（6，0），t＝6．

當⊙J′經過等C時，連接CJ′，CJ．設OJ′＝CJ′＝r，

在Rt△CJJ′中，r2＝（r﹣3）2+42，

解得r＝，

∴OP′＝，

∴P′（，0），

觀察圖象可知：當6≤t≤時，∠OQP是“黃金角”．