Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，-1），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷△MAB的形狀，并說明理由；

（3）過原點(diǎn)的任意直線（不與y軸重合）交拋物線于C、D兩點(diǎn)，連接MC，MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-1．（2）△MAB是等腰直角三角形．理由見解析；（3）MC⊥MD；理由見解析.

【解析】試題分析：（1）待定系數(shù)法即可解得．

（2）由拋物線的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形．

（3）分別過C點(diǎn)，D點(diǎn)作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點(diǎn)作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，設(shè)D（m，m2-1），C（n，n2-1），通過EG∥DH，得出，從而求得m、n的關(guān)系，根據(jù)m、n的關(guān)系，得出△CGM∽△MHD，利用對(duì)應(yīng)角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得結(jié)論．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，-1），

∴，解得b=0，c=-1，

∴拋物線的解析式為：y=x2-1．

（2）△MAB是等腰直角三角形．

由拋物線的解析式為：y=x2-1可知A（-1，0），B（1，0），

∴OA=OB=OM=1，

∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°，

∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM，

∴△MAB是等腰直角三角形．

（3）MC⊥MD；

分別過C點(diǎn)，D點(diǎn)作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點(diǎn)作x軸的平行線交EC延長(zhǎng)線于G，交DF于H，

設(shè)D（m，m2-1），C（n，n2-1），

∴OE=-n，CE=1-n2，OF=m，DF=m2-1，

∵OM=1，

∴CG=n2，DH=m2，

∵EG∥DH，

∴，

即，

m（1-n2）=-n（m2-1），

m-mn2=-m2n+n，

（m2n-mn2）=-m+n，

mn（m-n）=-（m-n），

∴mn=-1

解得m=-，

∵， ，

∴，

∵∠CGM=∠MHD=90°，

∴△CGM∽△MHD，

∴∠CMG=∠MDH，

∵∠MDH+∠DMH=90°

∴∠CMG+∠DMH=90°，

∴∠CMD=90°，

即MC⊥MD．