Question

【題目】如圖，等腰中，是的角平分線，交于點，點為中點，連接，若

求證： 是的切線；

連接，若，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OE，根據平行線的性質和等邊對等角證出∠DOF=∠EOF，然后利用SAS即可證出△ODF≌△OEF，從而得出∠ODF=∠OEF，再根據三線合一證出∠ODF=90°，從而得出∠OEF=90°，最后根據切線的判定定理即可證出結論；

（2）根據直徑所對的圓周角是直角可得∠AED=90°，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出EF=DC=DF，利用等角的銳角三角函數相等求出DC和AC，再利用勾股定理求出直徑AD，即可求出結論．

（1）證明：連接OE，

∵OF∥AC，

∴∠DOF=∠OAC，∠EOF=∠OEA，

∵OE=OA，

∴∠OAC=∠OEA，

∴∠DOF=∠EOF，

又∵OD=OE，OF=OF，

∴△ODF≌△OEF，

∴∠ODF=∠OEF，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴∠ODF=90°，

∴∠OEF=90°，

∴EF⊥OE，

∴EF為⊙O的切線．

（2）∵AD為直徑，

∴∠AED=90°，

∴∠DEC=90°，

∵F為DC中點，

∴EF=DC=DF，

∴∠EDF=∠DEF，

∴

∴，

∵CE=1，

∴DC=

∵∠DAC+∠C=90°，∠EDC+∠C=90°，

∴∠DAC=∠EDC，

∴

∴，

∴AC=5，

∴AD=，

∴半徑為．