Question

如圖，矩形ABCD沿直線MN折疊，使點D落在點B處，點E、F分別是邊AD、BC與MN的交點，Q是MM與對角線BD的交點，P是對角線BD上任意一點，PH⊥BE于H，PG⊥AD于G．
（1）不添加輔助線，找出圖中的全等三角形；（至少找出兩組，不要求證明）
（2）請你猜想PH、PG、AB它們之間有什么關系？并證明你的結論．

Answer 1

分析：找出題中的折疊規律，折疊后的圖形與原圖形是軸對稱圖形，其角邊均相等，據此可解答第一題．因為折疊中B與D重合，而MN為折線所以DE與BE相等，三角形BDE的面積×2等于（PH+PG）×DE等于AB×DE所以可猜想BA=PH+PG．

解答：解：（1）△ABD≌△CDB、△BEQ≌△DEQ
△BEQ≌△BFQ、△DEQ≌△BFQ
說明：找出一組得（2分）．

（2）PH+PG=AB；
解法1：連接PE
由（1）可知，△BEQ≌△DEQ，∴BE=DE
∵S_△BDE=S_△BEP+S_△DEP
又∵AB⊥DE，PH⊥BE，PG⊥DE
∴

1

2

DE•AB=

1

2

BE•PH+

1

2

DE•PG
∴PH+PG=AB．

解法2：延長GP交BC于點I，則GI=AB，
∵四邊形ABCD是矩形，PG⊥AD
∴AD∥BC
即

1

2

DE•AB=

1

2

DE•PH+

1

2

DE•PG
∴∠PBI=∠PDG，∠DGP=∠PIB=90°
由（1）知：△BEQ≌△DEQ
∴∠EBP=∠PDE，
∴∠HBP=∠PBI
∵PH⊥BE
∴∠PHB=∠PIB=90°
∵PB=PB
∴△PHB≌△PIB（AAS）
∴PI=PH
∴GI=GP+PI=GP+PH=AB．

點評：本題通過折疊變換考查三角形全等的有關知識，及學生的邏輯思維能力．切記折疊的圖形即為軸對稱圖形．