Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．如果AB=AC，∠BAC=90°．
解答下列問題：
（1）當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖甲，線段CF、BD之間的位置關系為

垂直

，數量關系為

相等

．
（2）當點D在線段BC的延長線上時，如圖乙，①中的結論是否仍然成立，為什么？（要求寫出證明過程）

Answer 1

分析：（1）由四邊形ADEF是正方形與AB=AC，∠BAC=90°，易證得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性質，可證得CF=BD，繼而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
（2）由四邊形ADEF是正方形與AB=AC，∠BAC=90°，易證得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性質，可證得CF=BD，繼而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD．

解答：解：（1）∵四邊形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；
故答案為：垂直，相等；

（2）當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．
理由：∵四邊形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD-∠DAC=∠CAF-∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

點評：此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．